形式 A : "先算平均，再相加"

形式 B : "先打包，再算平均"

这两种形式是完全等价的。它们只是对期望的计算过程进行了不同的分组。

如何从形式 B 推导出形式 A (数学互推)

1. 从形式 B 开始:

   $$V^{\pi }(s)=\sum _a\pi (a|s)[\sum _{s^{\prime }}p(s^{\prime }|s,a)(R(s,a,s^{\prime })+\gamma V^{\pi }(s^{\prime }))]$$

2. 将括号内的 ${\Sigma }_{s^{\prime }}$ 分配进去:

   $$V^{\pi }(s)=\sum _a\pi (a|s)[\sum _{s^{\prime }}p(s^{\prime }|s,a)R(s,a,s^{\prime })+\sum _{s^{\prime }}p(s^{\prime }|s,a)\gamma V^{\pi }(s^{\prime })]$$

3. 识别关键部分:

   • 我们之前已经证明了，第一部分 $\sum _{s^{\prime }}p(s^{\prime }|s,a)R(s,a,s^{\prime })$ 正是期望奖励 $R(s,a)$ 的定义。
   • 而 $R(s,a)$ 又可以被更根本地写成 $\sum _{r}p(r|s,a)r$。（因为 $R(s,a)=\sum _{s^{\prime },r}p(s^{\prime },r|s,a)r=\sum _{r}r\sum _{s^{\prime }}p(s^{\prime },r|s,a)=\sum _{r}r\cdot p(r|s,a)$）

4. 代入并重写方程:

   $$V^{\pi }(s)=\sum _a\pi (a|s)[\underset{R(s,a)}{\underbrace{(\sum _{r}p(r|s,a)r)}}+\gamma \sum _{s^{\prime }}p(s^{\prime }|s,a)V^{\pi }(s^{\prime })]$$

5. 最后，将最外层的 ${\Sigma }_a\pi (a|s)$ 分配进去:

   $$V^{\pi }(s)=\sum _a\pi (a|s)(\sum _{r}p(r|s,a)r)+\sum _a\pi (a|s)(\gamma \sum _{s^{\prime }}p(s^{\prime }|s,a)V^{\pi }(s^{\prime }))$$

6. 整理一下第二项:

   $$V^{\pi }(s)=\sum _a\pi (a|s)\sum _{r}p(r|s,a)r+\gamma \sum _a\pi (a|s)\sum _{s^{\prime }}p(s^{\prime }|s,a)V^{\pi }(s^{\prime })$$

这就推导出了图片中的形式 A

两种形式的直观思想

为什么要有两种不同的写法？因为它们强调了价值构成的不同角度：

视角A (图片中的形式): "现在 vs. 未来"

这种形式把价值 $V^{\pi }(s)$ 分解成了两个独立计算然后相加的部分：

1. 期望的立即奖励: “如果我现在处于状态 $s$，遵循策略 $\pi$，平均能立刻拿到多少奖励？” 这个计算完全不关心未来会怎么样。
2. 期望的未来价值: “如果我现在处于状态 $s$，遵循策略 $\pi$，平均会进入什么样的后继状态，而这些后继状态的折扣后价值的期望又是多少？”

这种视角非常符合价值的定义：价值 = 立即回报 + 未来回报。

视角B (我们讨论的形式): "对行动的期望"

这种形式把价值 $V^{\pi }(s)$ 分解为对所有可能行动的期望：

1. 首先定义一个行动的价值 $Q^{\pi }(s,a)$:

   • “如果我在状态 $s$ 确定要采取行动 $a$，那么接下来会发生的所有事情（转移到 $s^{\prime }$ 并获得奖励 $R(s,a,s^{\prime })$, 然后从 $s^{\prime }$ 继续获得价值 $V^{\pi }(s^{\prime })$）的期望总价值是多少？”
   • $Q^{\pi }(s,a)=\sum _{s^{\prime }}p(s^{\prime }|s,a)(R(s,a,s^{\prime })+\gamma V^{\pi }(s^{\prime }))$

2. 然后对所有行动求期望:

   • “我在状态 $s$ 的总价值，就是我可能采取的所有行动 $a$ 的价值 $Q^{\pi }(s,a)$，按照我采取它们的概率 $\pi (a|s)$ 进行的加权平均。”
   • $V^{\pi }(s)=\sum _a\pi (a|s)Q^{\pi }(s,a)$

这种视角非常符合决策过程：状态的价值 = 所有行动的期望价值。

结论: 两种形式都是正确的，并且可以相互推导。图片中的形式更接近价值函数的数学定义，而我们之前讨论的形式则更接近 $V$ 和 $Q$ 价值函数之间的关系，对理解 Q-Learning 等算法更有帮助。能够理解它们的等价性，说明你对贝尔曼方程的理解已经非常深入了。