1. 疑惑：MC Exploring Starts 是从后往前递归，那是不是和时序差分（自举）的那种 $G_t=R_{t+1}+\gamma G_{t+1}$ 很像？

不是！ 我们需要精确区分“计算回报 G_t 的技巧”和“学习更新的哲学”。它们是两件完全不同的事情。

1. 为什么计算要从后往前？——这是一个高效的计算技巧

让我们仔细看图片中的这几行伪代码：

Initialization: g ← 0
For each step of the episode, t = T-1, T-2, ..., 0, do
    g ← γg + r_{t+1}
    ...

这里的 $g$ 实际上就是在计算回报 $G_t$。

• 当 $t=T-1$ (最后一-步):
  • $g\leftarrow \gamma \ast 0+r_T$。此时 $g$ 就是 $G_{T-1}$。
• 当 $t=T-2$ (倒数第二步):
  • $g\leftarrow \gamma \ast (G_{T-1})+r_{T-1}$。此时 $g$ 就是 $G_{T-2}$。
• ...
• 当 $t=0$ (第一步):
  • $g\leftarrow \gamma \ast G_1+r_1$。此时 $g$ 就是 $G_0$。

为什么这么做？
因为回报的定义是递归的：$G_t=R_{t+1}+\gamma G_{t+1}$。
从后往前计算，我们可以非常高效地利用上一步算出的 $G_{t+1}$ 来计算当前的 $G_t$，避免了大量的重复计算。这是一个非常标准的、高效的动态规划思想应用在计算回报这个子问题上。

但是，请注意，这仅仅是为了算出 $G_t$ 这个值！

2. 学习更新的哲学是什么？——仍然是纯粹的蒙特卡洛

算出了 $G_t$ 之后，算法用它来做什么？

q(s_t, a_t) ← average(Returns(s_t, a_t))  // 更新Q值
π(a|s_t) ← argmax q(s_t, a)            // 更新策略

关键点:

• $q(s_t,a_t)$ 的更新只依赖于那个从头跑到尾、历经千辛万苦才得到的完整回报 $G_t$。
• 它没有使用任何其他状态的价值估计，比如 $q(s_{t+1},a_{t+1})$，来帮助计算 $q(s_t,a_t)$。
• 这就是蒙特卡洛的标志：不信任中间的价值估计，只相信跑完全程的“真实”结果。

对比自举 (Bootstrapping) 的学习哲学

现在，我们对比一下一个使用自举的算法（比如 TD 或 Q-Learning）会怎么做。它根本不会去从后往前计算完整的 $G_t$。

它的学习更新会是这样的（概念上的伪代码）：

// 在时间步 t，刚刚从 s_t 采取 a_t, 得到 r_{t+1} 和 s_{t+1}
// 立即进行更新，根本不等回合结束
q_target = r_{t+1} + γ * q(s_{t+1}, a_{t+1})  // Bootstrapping! 用了未来的Q值估计
q(s_t, a_t) ← q(s_t, a_t) + α * (q_target - q(s_t, a_t))

• MC: 等到最后，从后往前算出真实的 $G_t$，用它来更新 $q(s_t,a_t)$。
• TD: 不等到最后，马上用真实的 $r_{t+1}$ 加上估计的 $q(s_{t+1},...)$，来更新 $q(s_t,a_t)$。

那时序差分（自举）后面的估计是怎么出来的？因此我们对比一下DP, MC 和 TD

2. DP, MC 和 TD 的对比

假设我们的目标是得到一张准确的Q表。有三种不同的方法来填写这张表：

方法一：上帝视角 - 动态规划 (DP)

• 前提: 你知道整个游戏的规则（模型 $P$ 和 $R$）。
• 计算方式: 你把自己关在一个房间里，不玩游戏，只对着规则手册（模型）进行思考和计算。你可以使用矩阵运算 $v=(I-\gamma P{)}^{(}-1)r$ 一次性算出所有精确值，或者通过价值迭代 $v_{k+1}=T(v_k)$ 反复迭代直到收敛。
• $q(s_{t+1})$ 的来源: 在这个世界里，$q(s_{t+1})$ 的值是在算法开始之前或在迭代过程中，就已经通过对整个系统动力学的全局计算得到的。它是基于模型的、全局的计算结果。

方法二：事后诸葛亮 - 蒙特卡洛 (MC)

• 前提: 你对游戏规则一无所知。
• 计算方式: 你只能亲自去玩。你完整地玩完一局游戏，记录下整个过程。游戏结束后，你回顾整个过程，从后往前，计算出你在游戏中每个点上实际获得的总回报 $G_t$。
• $q(s_{t+1})$ 的来源: 在MC的世界里，根本不存在 $q(s_{t+1})$ 这个东西被用来更新 $q(s_t)$。MC只会用真实的、完整的 $G_t$ 来更新 $q(s_t)$。它完全不信任任何中间的价值估计。

方法三：摸着石头过河 - 时序差分 (TD)

• 前提: 你对游戏规则一无所知，也没有耐心玩完一整局再学习。
• 计算方式: 你采用一种边玩边学，滚动更新的方式。
• $q(s_{t+1})$ 的来源: 这就是你问题的核心。在TD的世界里，$q(s_{t+1})$ 的值是这样来的：
  1. 随机初始化: 在学习开始之前，整张Q表里的所有值都是随机猜的，或者全部初始化为0。这些值是完全不准确的。
  2. 第一步经验: 你从 $s_t$ 走到 $s_{t+1}$，获得奖励 $r_{t+1}$。你想更新 $q(s_t,a_t)$。
  3. 自举更新: 你去查表，看到了那个不准确的、随机初始化的 $q(s_{t+1},...)$ 的值。
  4. TD说: “尽管我知道 $q(s_{t+1},...)$ 的值现在很烂，但它是我对未来的唯一信息。我得到的真实奖励 $r_{t+1}$ 是确凿的新知识。所以我用这个新知识，去稍微修正一下我对 $s_t$ 的旧看法。”$$q(s_t,a_t)\leftarrow q(s_t,a_t)+\alpha ((r_{t+1}+\gamma \cdot \text{烂估计值 }q(s_{t+1},...))-\text{旧烂估计值 }q(s_t,a_t))$$
  5. 滚动修正: 你继续玩下去。当你走到 $s_{t+2}$ 时，你又会用 $q(s_{t+2},...)$ 的值来更新 $q(s_{t+1},...)$。这样，价值的“准确性”就像波浪一样，从奖励发生的地方，一步一步地在Q表中反向传播开来。

总结与比喻

所以，TD方法中用于自举的 $q(s_{t+1})$ 既不是从后往前算出来的（那是MC的计算技巧），也不是通过矩阵一次性算出来的（那是DP的能力）。它仅仅是Q表中当前存储的、可能还非常不准确的估计值。TD学习的魔力就在于，通过不断地用“一个不准的估计”去更新“另一个不准的估计”，整个系统最终能够奇迹般地收敛到准确的值。