① 核心问题

这里的 v(s) 和 v(s') 不是独立的未知量，它们是同一个未知对象——最优价值函数 v* ——的不同部分。

1. 为什么不是三个未知量？

你的困惑来源很可能是：

1. v(s) 是一个未知数。
2. v(s') 是另一个未知数。
3. 策略 π (或行动 a) 是第三个未知数。

这个想法在普通代数方程中是成立的，但在函数方程中，我们需要换一个角度。

关键点一：v(s) 和 v(s') 属于同一个未知“函数”

贝尔曼最优方程不是一个关于单个数字 v(s) 的方程，而是一个关于整个函数 v 的方程。这个函数 v 将每一个状态 s 映射到一个价值。

• 未知对象: 我们要求解的未知对象是最优价值函数 v*。在离散情况下，你可以把它想象成一个未知的向量 v*，其中包含了所有状态的价值 [v*(s₁), v*(s₂), ..., v*(sₙ)]。
• v(s) 和 v(s') 的关系: 它们都是这个未知向量 v* 中的元素。v(s) 是当前状态的价值，v(s') 是某个后继状态的价值。
• 方程的本质: 贝尔曼最优方程描述的是一个自洽性条件 (self-consistency condition)。它说：“一个函数 v 只有在所有状态 s 下都满足这个等式时，它才是最优价值函数 v*。”

所以，v(s) 和 v(s') 只是一个未知量（函数 v）在不同输入下的表现。

关键点二：策略 π 是通过 max 算子被“吸收”的

在贝尔曼期望方程中，策略 π 是给定的，我们求解 v_π。
但在贝尔曼最优方程中，我们同时在寻找最优策略 π* 和最优价值 v*。这里的 max 算子非常巧妙地将这两个未知量联系在了一起。

• max 的作用: max_a 操作意味着，最优策略 π* 不再是一个独立的变量，而是由最优价值函数 v* 隐式定义的。
• 关系: 最优策略 π*(s) 就是在状态 s 时，选择那个能让 [...] 括号内表达式最大化的行动 a。$${\pi }^{\ast }(s)=\arg \underset{a}{max}(\dots )$$
• 联动: 这意味着 v* 和 π* 是“锁定”在一起的。如果你知道了 v*，你就能通过 argmax 找到 π*。反之，v* 的值也必须满足由 π* 带来的结果。

所以，整个方程实际上只有一个核心的未知量：最优价值函数 v*。一旦找到了满足这个方程的 v*，最优策略 π* 也就随之确定了。

2. 用图片中的绝佳例子来解释

这个例子 x = max_a(2x - 1 - a²) 是为了解释这个概念而设计的完美简化！

• 类比:
  • x <—> v* (整个价值函数，在单状态问题里就是一个数)
  • a <—> π* (最优策略/行动)

这个方程确实看似有两个未知数 x 和 a。它是如何求解的呢？

1. 第一步：求解“最优策略” a
   我们先只看右边的 max_a(2x - 1 - a²)。为了让这个表达式最大化，我们需要让 -a² 尽可能大。不管 x 的值是多少，当 a=0 时，-a² 取得最大值 0。

   • RL类比: 这一步相当于策略提升 (Policy Improvement)。对于一个假定的价值函数 v (这里是x)，我们找到了能让期望回报最大化的行动 a（这里是a=0）。
   • 我们得到了这个问题的最优策略：永远选择 a=0。

2. 第二步：求解“最优价值” x
   既然我们知道了最优行动是 a=0，我们把它代入原方程。max 运算的结果就是 a=0 时的值。

   $$x=(2x-1-0^2)$$$$x=2x-1$$

   解这个简单的线性方程，我们得到 x = 1。

   • RL类比: 这一步相当于策略评估 (Policy Evaluation) 的简化版。我们找到了与最优策略（a=0）相一致的、满足自洽性条件的价值 x=1。

结论: 方程的解是 x=1 和 a=0。我们通过一个两步过程，找到了那个唯一的、相互兼容的价值和策略。这正是价值迭代 (Value Iteration) 等算法的核心思想：交替进行策略提升和价值评估，最终收敛到 v* 和 π*。

② 其他问题

1. 唯一性问题: 最优价值函数 v* 是否唯一？（我们之前说过是唯一的）
2. 向量表示问题: 在方程 v = max(...) 中，为什么左边的 v 和右边的 v 是同一个向量？如果 v(s₁) 和 v(s₂) 的后继状态都是 s₃，这在方程里是如何体现的？

1. 唯一性问题再次澄清

对于一个给定的 MDP，最优价值函数 v* 是唯一的。

• 直观理解: 对于任何一个状态 s，从它出发能获得的最大期望回报这个“最好结果”是一个固定的、唯一的值。比如，在某个棋局下，你最好的期望结果可能是“80%概率赢”，这个结果是唯一的，不会既是“80%赢”又是“50%赢”。
• 数学证明: 贝尔曼最优算子 T 是一个压缩映射 (Contraction Mapping)。根据巴拿赫不动点定理，对于任何一个压缩映射，它在完备的度量空间中存在唯一的不动点 (Fixed Point)。这里的 v* 就是那个唯一的不动点，满足 v* = T(v*)。
  • 这个不动点方程正是贝尔曼最优方程 v* = max_π(r_π + γP_π v*)。

所以，尽管可能有多个最优策略（例如走左和走右都能达到同样的最大价值），但那个最大价值本身是唯一的。

2. 核心问题：为什么 v 是同一个向量？

这是你问题的关键。让我们用一个具体的例子来说明方程 v = max_π(r_π + γP_π v) 是如何工作的，以及“重复”的后继状态是如何被处理的。

例子：一个三状态 MDP

假设我们有三个状态 s₁, s₂, s₃。

我们的未知量是一个向量 v = [v(s₁), v(s₂), v(s₃)]^T。

贝尔曼最优方程实际上是一个向量方程，它包含了三个标量方程（每个状态一个）：

1. 对于状态 s₁:

   $$v(s_1)=\underset{a}{max}(R(s_1,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s_1,a)v(s^{\prime }))$$

2. 对于状态 s₂:

   $$v(s_2)=\underset{a}{max}(R(s_2,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s_2,a)v(s^{\prime }))$$

3. 对于状态 s₃:

   $$v(s_3)=\underset{a}{max}(R(s_3,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s_3,a)v(s^{\prime }))$$

现在，我们来看“重复”情况。
假设从 s₁ 和 s₂ 出发，都可能转移到 s₃。

• 在 s₁ 的方程中:
  Σ_s' P(s'|s₁,a) v(s') 这一项会展开成：
  P(s₁|s₁,a)v(s₁) + P(s₂|s₁,a)v(s₂) + P(s₃|s₁,a)v(s₃)
  注意，这里的 v(s₃) 是未知向量 v 的第三个元素。

• 在 s₂ 的方程中:
  Σ_s' P(s'|s₂,a) v(s') 这一项会展开成：
  P(s₁|s₂,a)v(s₁) + P(s₂|s₂,a)v(s₂) + P(s₃|s₂,a)v(s₃)
  注意，这里的 v(s₃) 仍然是未知向量 v 的同一个第三个元素。

这就是关键所在！

贝尔曼最优方程的向量形式 v = max_π(...) 是一个自洽性断言。它说：

“我们要找的是一个满足以下条件的向量 v：这个向量的第一个元素 v(s₁)，必须等于通过 max 运算并使用了整个向量 v（包括其第二个和第三个元素）计算出的右侧表达式的值；同时，这个向量的第二个元素 v(s₂)，也必须等于通过 max 运算并使用了同一个向量 v 计算出的右侧表达式的值；以此类推，对所有元素都成立。”

所以：

• 左边的 v 和右边的 v 必须是同一个向量，因为这就是不动点方程 x = f(x) 的定义。我们寻找的是那个能让等式成立的 x。
• “重复”的后继状态（比如 s₃）被正确地处理了。在计算 v(s₁) 时，我们引用了 v 向量的第三个元素；在计算 v(s₂) 时，我们再次引用了 v 向量的同一个第三个元素。
• 这构成了一个耦合的、非线性的联立方程组。v(s₁) 的值依赖于 v(s₂) 和 v(s₃)，而 v(s₂) 的值又依赖于 v(s₁) 和 v(s₃)，等等。

价值迭代 (Value Iteration) 算法正是为了解这个复杂的联立方程组而设计的。它通过迭代来更新价值向量：

这里可以清晰地看到：我们用旧的价值向量 v_k 来计算新的价值向量 v_{k+1}。当 v_{k+1} 和 v_k 收敛到相同时，我们就找到了那个唯一的不动点 v*，即满足 v* = max(...) 的那个向量。