在计算机科学和数字电路中，"补码" (Complement Code) 是一种表示有符号整数（正数和负数）的方法。它解决了早期表示方法（如原码、反码）在算术运算上的一些复杂性和问题。

我们通常说的“1补码”和“2补码”实际上是指 “反码 (One's Complement)” 和 “补码 (Two's Complement)”

1. 原码 (Sign-Magnitude Representation)

在介绍反码和补码之前，先简单说一下原码。
原码： 用最高位表示符号（0代表正数，1代表负数），其余位表示数值的绝对值。

优点： 直观，易于理解。
缺点：
1. 有两个零： +0 (0000) 和 -0 (1000)（以4位为例）。这导致判断零的逻辑更复杂。
2. 加减法复杂： 进行加减运算时，需要先判断符号，再根据符号决定是做加法还是减法，最后确定结果的符号。

2. 反码 (One's Complement) - "1补码"

定义：

正数： 它的反码就是其原码本身。
负数： 它的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其他所有位取反（0变1，1变0）。
- 例如，对于 4 位二进制数：
  - +5 的原码是 0101，反码也是 0101。
  - -5 的原码是 1101。取反后（符号位不变），反码是 1010。

特点：

有两个零： +0 (0000) 和 -0 (1111)（以4位为例）。
加法规则： 可以直接进行加法运算，但如果最高位有进位（即结果溢出到符号位之外），需要将这个进位加到结果的最低位（这被称为“循环进位”或“末位进位”）。
减法： A - B 可以转换为 A + (-B的反码)。

为什么叫 "One's Complement" (反码)？
因为一个数的反码加上它本身，所有位都变成1（假设不考虑符号位）。例如，0101 (+5) 和 1010 (-5的反码)。0101 + 1010 = 1111。在数学上，这可以理解为对 2^n - 1 的“补足”，即 X + X' = 2^n - 1。

3. 补码 (Two's Complement) - "2补码"

定义：

正数： 它的补码就是其原码本身。
负数： 它的补码是在其反码的基础上，末位加 1。
- 方法一： 负数的原码 -> 符号位不变，其他位取反 -> 结果末位加1。
- 方法二： 从右向左找到第一个 1，这个 1 和它右边的所有位保持不变。这个 1 左边的所有位都取反。
- 例如，对于 4 位二进制数：
  - +5 的原码是 0101，补码也是 0101。
  - -5 的原码是 1101。
    - 方法一：反码 1010，末位加1 -> 1011。所以 -5 的补码是 1011。
    - 方法二：1101。从右向左第一个 1 在最低位。保持 1，它左边的 110 取反变成 001。组合起来得到 0011。注意：这里方法二是对正数求负数补码，或对负数求正数补码时使用的。更常用的是从原码或反码转换。

核心优势：

唯一的零： 只有 0000 表示 0。这解决了原码和反码的双零问题。
统一的加减法： 所有的加减运算都可以通过加法来完成，无需额外处理符号位。
- A - B 等同于 A + (-B的补码)。
- 例如，5 - 3 (4位)：
  - +5 的补码是 0101
  - +3 的补码是 0011
  - -3 的补码是：0011 (原码) -> 1100 (反码) -> 1101 (补码)
  - 0101 + 1101 = 10010。在 4 位系统中，最高位的进位 1 被舍弃，结果是 0010，即 +2，正确！
表示范围不对称： 对于 n 位二进制数，补码可以表示 -(2^(n-1)) 到 (2^(n-1) - 1) 的范围。例如，4 位可以表示 -8 到 +7。这是因为少了一个 0 的表示，所以负数可以多表示一个。

为什么叫 "Two's Complement" (补码)？
这是因为一个负数的补码加上它本身，结果是 2^n（在模 2^n 意义下为 0），这在数学上被称为对 2^n 的“补足”。

假设有 n 位二进制数，其能表示的最大范围是 2^n。
一个正数 X 的负数补码 -X_补码，实际上是 2^n - X。
例如，在 4 位系统中，n=4，2^n = 16。
- -5 的补码是 1011 (二进制的 11)。
- 我们知道 16 - 5 = 11。这个 11 就是 -5 在 4 位补码中的表示。
- 当进行 X + (-X) 运算时，实际上是 X + (2^n - X) = 2^n。在 n 位系统中，2^n 恰好是 1 后面跟 n 个 0（例如 10000 for n=4）。这个最高位的 1 会被截断，剩下的 n 个 0 就是 0。这完美地实现了加法运算的统一。

这种“补足”的概念使得处理器在进行加减法时，无论数字是正数还是负数，都只进行简单的二进制加法，最高位溢出就舍弃，从而大大简化了硬件设计。这是现代计算机普遍采用补码表示有符号整数的原因。

理解这些概念的关键在于模运算 (Modulo Arithmetic)

核心概念：模运算 (Modulo Arithmetic)

在计算机中，我们使用的二进制数是固定位数的。这意味着无论运算结果多大，它都会“环绕”在一个特定的范围内。这就好比一个时钟：12点 + 3小时 = 3点，而不是15点。这里的“12”就是模数。

对于一个 N 位的二进制系统：

它能表示的整数范围是 0 到 2^N - 1。
所有的运算都在 模 2^N 的意义下进行。
这意味着任何超出 2^N - 1 的结果都会“溢出”，最高位的进位会被丢弃。例如，在一个 4 位系统中 (N=4)，模数是 2^4 = 16。10 + 7 = 17。在 4 位二进制中，17 会表示为 1 (溢出) 0001，最终结果是 1。也就是说，17 mod 16 = 1。

1. 反码 (One's Complement) 的数学原理

表示负数： 在N位系统中，一个正数 X 的反码 X_反 (表示 -X) 的数学定义是：
X_反 = (2^N - 1) - X
这也就是“所有位取反”操作的数学解释。
例如，对于 4 位系统，2^4 - 1 = 1111_2 (即 15)。
如果 X = 0101_2 (+5)：
-5 的反码就是 (1111_2) - (0101_2) = 1010_2。这确实是 0101_2 所有位取反的结果。
加法运算： 我们的目标是计算 A - B。在反码系统中，这被转换为 A + (-B)。
假设 B 是一个正数，那么 -B 的反码表示是 (2^N - 1) - B。
所以，我们要计算的是 A + ((2^N - 1) - B)。
重新整理一下：A - B + (2^N - 1)

情况一：结果 A - B 为正数或零。
例如： 5 - 3 = 2 (使用 4 位系统)
A = 0101_2 (+5)
B = 0011_2 (+3)，所以 -B 的反码是 1100_2。
计算 A + (-B的反码)：
0101_2 (+5)
+ 1100_2 (-3的反码)
---------
10001_2 (这里产生了最高位进位)

我们得到的这个结果 10001_2，在 4 位系统中，最高位的 1 是进位。如果直接舍弃，得到 0001_2，这不对，应该是 0010_2 (+2)。
这个 10001_2 实际上是 16 + 1 = 17。
我们刚才的数学公式是 A - B + (2^N - 1)。
5 - 3 + (2^4 - 1) = 2 + 15 = 17。
所以，我们通过加法得到的结果是 A - B 加上 (2^N - 1)。

为什么需要“循环进位” (End-Around Carry)？
当 A - B 是正数时，A - B + (2^N - 1) 的结果会大于 2^N - 1，从而产生一个最高位进位 1。
这个进位 1 实际上代表的是 2^N。
而我们的结果 A - B + (2^N - 1) 恰好比正确结果 A - B 少了一个 1 (因为多了一个 2^N - 1)。
所以，当出现最高位进位时，将这个进位 1 加回到结果的最低位，就完美地弥补了那个“少掉的 1”，从而得到正确的结果。
A - B + (2^N - 1) (原计算结果)
+ 1 (循环进位)
= A - B + 2^N
在模 2^N 运算下，+ 2^N 等同于 + 0。
所以最终结果就是 A - B。

情况二：结果 A - B 为负数。
例如： 3 - 5 = -2 (使用 4 位系统)
A = 0011_2 (+3)
B = 0101_2 (+5)，所以 -B 的反码是 1010_2。
计算 A + (-B的反码)：
0011_2 (+3)
+ 1010_2 (-5的反码)
---------
1101_2 (没有最高位进位)
这个结果 1101_2 正是 -2 的反码表示。
(2^N - 1) - 2 = 1111_2 - 0010_2 = 1101_2。
所以，当结果为负数时，加法直接得到反码形式的正确答案，无需循环进位。
为什么叫“One's Complement” (1的补码/反码)？
因为一个数 X 加上它的反码 X_反，结果总是 N 个 1 (即 2^N - 1)。
X + X_反 = X + ( (2^N - 1) - X ) = 2^N - 1。
所以，反码可以理解为将自身“补足”到全1的那个数。

2. 补码 (Two's Complement) 的数学原理

表示负数： 在N位系统中，一个正数 X 的补码 X_补 (表示 -X) 的数学定义是：
X_补 = 2^N - X (在N位系统的模 2^N 意义下)
这也就是“所有位取反再加1”操作的数学解释。
X_补 = ( (2^N - 1) - X ) + 1 = X_反 + 1。
例如，对于 4 位系统，2^4 = 10000_2 (即 16)。
如果 X = 0101_2 (+5)：
-5 的补码就是 (10000_2) - (0101_2) = 1011_2。
（验证：0101_2 取反是 1010_2，再加 1 得到 1011_2，符合定义。）
加法运算： 我们的目标是计算 A - B。在补码系统中，这被转换为 A + (-B)。
假设 B 是一个正数，那么 -B 的补码表示是 2^N - B。
所以，我们要计算的是 A + (2^N - B)。
重新整理一下：A - B + 2^N

关键：在模 2^N 运算下，+ 2^N 等同于 + 0。
所以， A - B + 2^N ≡ A - B (mod 2^N)。

这意味着无论 A - B 是正数还是负数，简单的二进制加法就能直接得到 A - B 的补码表示。
- 如果 A - B 是正数： 结果就是 A - B 本身（补码和原码相同）。
  例如： 5 - 3 = 2 (使用 4 位系统)
  A = 0101_2 (+5)
  B = 0011_2 (+3)，所以 -B 的补码是 1101_2。
  计算 A + (-B的补码)：
  0101_2 (+5)
  + 1101_2 (-3的补码)
  ---------
  10010_2 (这里产生了最高位进位)
  在 4 位系统中，最高位的进位 1 (代表 2^4) 被自然舍弃。结果是 0010_2，即 +2，正确！
  这就是为什么补码不需要“循环进位”！ 那个进位 1 正好对应了数学公式中被模除掉的 2^N。
- 如果 A - B 是负数： 结果就是 A - B 的补码表示。
  例如： 3 - 5 = -2 (使用 4 位系统)
  A = 0011_2 (+3)
  B = 0101_2 (+5)，所以 -B 的补码是 1011_2。
  计算 A + (-B的补码)：
  0011_2 (+3)
  + 1011_2 (-5的补码)
  ---------
  1110_2 (没有最高位进位)
  这个结果 1110_2 正是 -2 的补码表示。
  （验证：0010_2 (+2) 取反是 1101_2，加 1 得到 1110_2。）
为什么叫“Two's Complement” (2的补码/补码)？
因为一个数 X 加上它的补码 X_补，结果总是 2^N。
X + X_补 = X + (2^N - X) = 2^N。
在N位二进制系统中，2^N 表示为 1 后面跟 N 个 0（例如 10000 for N=4）。这个最高位的 1 会因为位数限制而被截断，留下 N 个 0，也就是 0。
所以，补码可以理解为将自身“补足”到下一个 2^N (也就是模运算意义下的 0) 的那个数。

总结

反码 (One's Complement)： 数学上是 (2^N - 1) - X。加法结果是 A - B + (2^N - 1)。当结果为正时，会产生一个最高位进位 1，它代表 2^N。为了抵消公式中多出来的 (2^N - 1)，需要将这个 1 (即 2^N) 加回到结果的最低位，这就正好抵消了 2^N - 1 中的 -1，并利用了 2^N 在模运算下等同于 0 的特性，从而得到 A - B。
补码 (Two's Complement)： 数学上是 2^N - X。加法结果是 A - B + 2^N。由于在模 2^N 运算下，+ 2^N 等同于 + 0，所以这个 2^N (表现为最高位进位) 可以直接被丢弃，得到的结果就是 A - B 的补码表示。这使得补码的加减运算硬件实现更简单、更高效，因此被现代计算机广泛采用。