核心思想：从Q值的两种定义看Model-Free的实现路径

我们之前讨论过，为了在没有环境模型（Model-Free）的情况下进行策略改进，关键在于计算动作价值函数 Q(s, a)。但问题是，我们究竟该如何计算它呢？

这页笔记将从 Q(s, a) 的两种数学表达出发，揭示为什么其中一种定义为我们打开了通往Model-Free强化学习的大门。

定义一：基于模型的贝尔曼期望方程 (Expression 1)

这个定义是我们最熟悉的贝尔曼方程，它从“一步之后”的情况来分解Q值。

q_π(s, a) = Σ_r p(r|s, a)r + γ Σ_s' p(s'|s, a)v_π(s')

• 含义解读：
  • 在状态 s 执行动作 a 的价值等于：
  • （所有可能的立即奖励的期望） + （折扣后的所有可能的下一状态价值的期望）
• 为什么它需要模型？
  • 要进行这个计算，我们必须知道两个关键的概率分布，也就是环境模型：
    1. p(r|s, a)：奖励函数（在s, a后得到奖励r的概率）。
    2. p(s'|s, a)：状态转移函数（在s, a后转移到状态s'的概率）。
• 结论：
  • 在Model-Free的设定下，我们不知道 p(r|s, a) 和 p(s'|s, a)。因此，这个公式虽然在理论上是正确的，但在实践中我们无法用它来直接计算Q值。这就是PPT上那个红色大叉的含义：此路不通。

定义二：基于经验的期望回报 (Expression 2)

这个定义回到了价值函数最原始、最根本的含义。

q_π(s, a) = E[G_t | S_t = s, A_t = a]

• 含义解读：
  • G_t 代表从t时刻开始的总回报（Return），即 G_t = R_{t+1} + γR_{t+2} + ...。
  • 整个公式的意思是：“在状态 s 执行动作 a 的价值” 等于 “从这个时间点开始，我们能够获得的未来总回报的期望值”。
  • 它不关心下一步会具体发生什么，只关心从 (s, a) 这个起点出发，最终平均能拿到多少总分。
• 为什么它不需要模型？
  • 这个定义里完全没有出现 p(...) 这样的概率项。它只关心一个最终的统计结果——期望。
• 结论：
  • 这为我们指明了一条康庄大道！在统计学中，我们如何估算一个未知分布的期望值？答案是：通过采样（Sampling）然后求平均（Averaging）！

从定义到算法：Model-Free的实现思路

所有Model-Free算法（包括蒙特卡洛、TD学习）的根基，就在于此：

我们可以通过让智能体在环境中反复试验，来收集大量的“经验样本”，然后用这些样本的平均回报来近似估算Q值的期望。

• 智能体：你去玩一局游戏吧（生成一个Episode）。
• 记录员：在第 t 步，你在状态 s 执行了动作 a。好的，我记下来了。
• 结算员：这局游戏结束了，从 t 时刻开始，你一共拿到了 G_t 的总回报。这也是一个关于 q(s, a) 的样本。
• 分析师：我们让智能体玩了很多很多局。现在，我们把所有在状态 s 执行动作 a 之后得到的 G_t 样本全部收集起来，取一个平均值。根据大数定律，这个平均值就会无限接近于真实的 q(s, a)！

q(s, a) ≈ average(G_t) (在所有访问过 (s, a) 的样本中)

这正是蒙特卡洛（MC）方法正在做的事情。它通过运行完整的Episode来获得G_t的无偏估计，然后求平均来更新Q值。这完美地实践了“定义二”所揭示的Model-Free学习路径。

如何通过反复试验来估算Q值

我们想知道 q(s, a) 的值，但没法直接计算。所以，我们通过反复进行以 (s, a) 为起点的试验，记录每次试验的结果，然后用这些结果的平均值来近似 q(s, a)。

1. 生成一个样本 (Generating a Sample)

• Starting from (s, a), following policy π_k, generate an episode.
  • 含义：这是我们进行的一次“受控实验”。我们强制让智能体（Agent）从一个特定的状态 s 开始，并强制它执行一个特定的动作 a。在这之后，智能体就按照它当前的策略 π_k 一直玩下去，直到这个回合（episode）结束。
  • 例子：在下棋时，我们想评估在某个特定棋盘局面 s 下，走“炮二平五”这一步 a 的价值。我们就先摆好这个局面，然后让AI走“炮二平五”，之后让AI用它现有的棋力（策略 π_k）和自己对弈，直到分出胜负。

2. 记录本次试验的结果：g(s, a)

• The return of this episode is g(s, a)
• g(s, a) is a sample of G_t
• 讲者提问：我用g(s,a)来表示，g(s,a)是什么呢？

这里是理解的关键！

• G_t 是什么？
  • G_t 是一个随机变量。它代表从 (s, a) 出发，未来可能获得的所有总回报的集合。因为策略 π_k 和环境本身都可能有随机性，所以即使起点相同，最终的回报也可能不同。
• g(s, a) 是什么？
  • g(s, a) 是我们刚刚那一次试验中，实际得到的那个具体的回报数值。它是随机变量 G_t 的一个具体的实现，或者说一个样本（Sample）。
• 类比：抛硬币
  • 我们想知道一枚硬币正面朝上的概率 p(正面)。这个 p(正面) 就像是 q(s, a)，是一个我们想知道但未知的理论值。
  • 我们抛一次硬币，得到的结果是“正面”。这个“正面”的结果，就像是我们做了一次实验得到的具体回报 g(s, a)。它只是一个样本。
  • 我们不能因为抛了一次是正面，就说 p(正面) 等于100%。同样，我们也不能因为一次实验得到了回报 g(s, a)，就说 q(s, a) 就等于 g(s, a)。

3. 从单个样本到群体估计 (From Sample to Estimation)

• Suppose we have a set of episodes and hence {g^(j)(s, a)}.

  • 含义：我们重复了上面那个“受控实验” N 次。每一次我们都从 (s, a) 出发，然后让策略 π_k 走完，得到了 N 个不同的回报值：g^(1)(s, a), g^(2)(s, a), ..., g^(N)(s, a)。
  • 类比：抛硬币：我们把硬币抛了 N 次，记录下每一次的结果（正面、反面、正面、正面...）。

• q_π_k(s, a) = E[G_t | S_t=s, A_t=a] ≈ (1/N) * Σ g^(i)(s, a)

  • 含义：这正是这页PPT的 punchline（点睛之笔）。
    • q_π_k(s, a) 的定义：它的理论值是 G_t 的期望（Expectation）。
    • 期望的估算：根据大数定律，我们可以用样本的平均值来近似总体的期望。
    • 所以，我们将 N 次实验得到的所有回报 g^(i)(s, a) 加起来再除以 N，得到的这个平均回报，就是我们对 q_π_k(s, a) 的估计值。
  • 类比：抛硬币：我们抛了1000次硬币，其中有505次是正面。那么我们对 p(正面) 的估计就是 505 / 1000 = 0.505。这个值非常接近理论值0.5。我们抛的次数越多（N越大），这个估计就越准。

4. 根本思想 (Fundamental Idea)

• Fundamental idea: When model is unavailable, we can use data.
  • 总结：这完美地概括了Model-Free的思想。我们没有地图（model），不知道走每条路会通向哪里。但我们可以亲自去开车（generate episodes），记录每次走完的时间（get samples g(s,a)），通过多次记录的平均时间（averaging），来判断哪条路更好（estimate q(s,a)）。

总结

1. 目标：估算 q_π_k(s, a)，即动作价值。
2. 理论：q_π_k(s, a) 的定义是未来总回报 G_t 的期望 E[G_t]。
3. 挑战：我们没有模型，无法用贝尔曼方程直接计算这个期望。
4. 方法：利用统计学！期望可以通过采样求平均来近似。
5. 实践：
   • 做一次实验（生成一个Episode），得到一个回报的样本 g(s, a)。
   • 做 N 次实验，得到 N 个样本 {g^(i)(s, a)}。
   • 计算这 N 个样本的平均值，用它来作为 q_π_k(s, a) 的估计值。
   • 实验次数 N 越多，估计就越准确。