好的，我理解了。你需要一份完整涵盖整个 PDF 内容（从语言学层级到 CYK 算法再到现代视角），并且严格遵守你给出的层级结构（Part I, Part II...）以及使用 $$ 包裹 LaTeX 公式的笔记。

以下是为你重头整理的详细笔记：

Lecture 6: Introduction to NLP: Grammar, Syntax, and Context-Free Grammars

Part I: Linguistic Hierarchy & Syntax Basics

• Levels of Languages (语言层级):
  语言处理存在一个从声音到隐含意义的垂直层级。

  • Phonology (语音学): 研究所有声音 (All sounds)。
  • Morphology (形态学): 研究单词的内部结构。例如：unhappiness 拆解为 un-happi-ness。
  • Syntax (句法学): 研究单词如何组织成短语和句子（Organizing words）。
  • Semantics (语义学): 研究字面含义（Literal meaning）。
  • Pragmatics (语用学): 研究隐含意义，如隐喻、讽刺、幽默和沉默。

• Syntax Definition (句法定义):
  句法是定义单词如何组织成更大单元的规则。

  • Legal vs. Illegal: 规则区分了语言中的合法与非法句子。
  • Fluency: 衡量对句法规则的熟悉程度。婴儿通过习得（Acquisition）掌握，二语学习者通过规则（Rules）显式学习。

• Shallow vs. Deep Syntax (浅层与深层句法):

  • Shallow Syntax: 关注语言的局部结构。
    • Examples: the 后面接名词；主谓一致（he drinks vs. they drink）。
    • Modeling: n-grams and HMM 是马尔可夫模型（Markovian），仅利用近距离历史，无法处理长程依赖。
  • Deep Syntax: 关注全局和长程依赖。
    • Example: "The books that I bought yesterday are expensive."
    • Analysis: are 取决于复数名词 books，两者之间的距离超出了 n-gram 处理范围。

• Constituent (语法成分):
  作为一个单一语法单元行动的一组词。

  • Property 1: 可以在句中不同位置出现而不改变语义（Position flexibility）。
  • Property 2: 不能在维持语义的情况下被进一步拆解（Indivisibility）。

Part II: Context-Free Grammar (CFG)

• Formal Definition (形式化定义):
  一个上下文无关文法由四个元素组成：

  1. $N$: 非终结符集合（Non-terminal symbols），如 NP, VP。
  2. $\mathrm{\Sigma }$: 终结符集合（Terminal symbols），即具体的单词。
  3. $R$: 规则/产生式集合，形式为 $A\to \beta$，其中 $A\in N$。
  4. $S$: 起始符号，$S\in N$。

• 核心短语范畴 (Phrasal Categories)，这些符号代表由多个词组成的短语单位：
  $NP$ (Noun Phrase): 名词短语。句子的主体，通常指代人、事、物。例如：a flight（一个航班）, the big blue bus（那辆蓝色大巴士）。

  $VP$ (Verb Phrase): 动词短语。描述动作或状态。例如：prefer a morning flight（倾向于早班机）, disappear（消失）。

  $PP$ (Prepositional Phrase): 介词短语。由介词开头，表示地点、时间、方式等。例如：from Atlanta（来自亚特兰大）, in the morning（在早上）。

  $AP$ (Adjective Phrase): 形容词短语。以形容词为核心。例如：least expensive（最便宜的）。

  $N$ 或 $NN$ (Noun): 名词。表示人、地点、事物或概念的词。这是 $Nominal$ 和 $NP$ 的核心。

  $V$ 或 $VB$ (Verb): 动词。 表示动作、事件或状态的词。这是 $VP$ 的核心。

  $Adj$ 或 $JJ$ (Adjective): 形容词。用来修饰名词，描述其属性。它是 $AP$ 的核心。

  $Adv$ 或 $RB$ (Adverb): 副词。 用来修饰动词、形容词或其他副词。

• 核心句子与词类范畴 (Clausal & Word Categories)
  $S$ (Sentence): 句子。文法的最高层级，通常由 $NP$ 和 $VP$ 组成。

  $Aux$ (Auxiliary): 助动词。协助主要动词构成时态、语态或疑问。例如：do, does, can, will, have。在是非问句（Yes-no Questions）中常用到它（如：Do any of these flights...）。

  $Det$ (Determiner): 限定词。放在名词前限定其范围。例如：a, an, the, this, that。

  $Nominal$ (名词性成分): 介于名词和名词短语之间的成分。它比单个名词信息更多，但还没加上限定词。例如：morning flight 是一个 $Nominal$，加上 a 之后变成 $NP$ (a morning flight)。

  $Wh-NP$: 疑问名词短语。引导疑问句的特殊名词短语，通常包含 who, what, which 等。例如：What airlines。

  $P$ 或 $IN$ (Preposition): 介词。$PP$ (介词短语) 的核心词，通常放在名词短语之前，表示位置、时间或逻辑关系。

  $Conj$ 或 $CC$ (Conjunction): 连词。用于连接两个相同的语法成分（如连接两个 $NP$ 或两个 $S$）。这是造成并列歧义的主要原因。

  $Pro$ 或 $PRP$ (Pronoun): 代词。** 用来替代名词短语的词。在解析树中，它通常直接作为一个 $NP$。

  $Card$ 或 $CD$ (Cardinal Number): 基数词。定义： 表示数量的词。

  $Ord$ (Ordinal Number): 序数词。表示顺序的词。

  $Quant$ (Quantifier): 数量词。比限定词更具体地表示数量（不确定数量）。

  $SBAR$ 或 $CP$ (Complementizer Phrase): 补语从句/关系从句。定义： 由 that 或 which 等词引导的从句。它通常作为一个修饰语嵌套在 $NP$ 或 $VP$ 中。

  $Wh-Adv$ (Wh-Adverb): 疑问副词。定义： 引导疑问句的副词，询问时间、地点或原因。

• Sentence Structures (句子结构规则):

  • Declarative (陈述句): $$S \rightarrow NP\ VP$$
  • Imperative (祈使句): $$S \rightarrow VP$$
  • Yes-no Questions (是非问句): $$S \rightarrow Aux\ NP\ VP$$
  • Wh-structures: $$S \rightarrow Wh-NP\ VP$$ 或 $$S \rightarrow Wh-NP\ Aux\ NP\ VP\ PP$$

• Noun Phrase & Nominals (名词短语与名词性成分):

  • NP Rule: $$NP \rightarrow (Det) (Card) (Ord) (Quant) (AP) Nominal$$ (括号内为可选成分)。
  • Recursion (递归): 通过限定词规则 $$Det \rightarrow NP's$$ 可以实现深层嵌套，如 "Denver’s mayor’s mother’s canceled flight"。
  • Nominal Forms:
    • $$Nominal\to Noun\$\$(\mathrm{基}\mathrm{础}\mathrm{形}\mathrm{式})$$
    • $$Nominal\to NominalPP\$\$(\ast flighttoBoston\ast )$$

• Verb Phrase (VP):

  • $VP\to Verb$ (disappear)
  • $VP\to VerbNP$ (prefer a morning flight)
  • $VP\to VerbS$ (含有句法补足语 Sentential complement)

• Data Source: Penn Treebank 是常用的解析树标注语料库，用于派生 CFG 或训练解析器。

Part III: Syntactic Parsing & Ambiguity

• The Goal of Parsing:
  给定一个 CFG，为句子分配有效的解析树。即寻找根节点为 $S$、叶子节点为句子单词的树。

• Search Strategies (搜索策略):

  • Top-down Search (自顶向下): 从起始符 $S$ 开始向下扩展，直到匹配单词。
  • Bottom-up Search (自底向上): 从单词开始向上构建非终结符，直到到达 $S$。
  • Common Issue: 存在大量的重复子问题。解析树的某些部分（如特定的 NP）会被反复构建，即使最终会导致解析失败（$Dead-end$）。

• Parsing Ambiguity (分析歧义性):

  • Attachment Ambiguity (附件歧义): 修饰成分的归属不明确。
    • Example: "I saw the Grand Canyon flying to New York." (谁在飞？我还是大峡谷？)
  • Coordination Ambiguity (并列歧义): 连词连接的范围不明确。
    • Example: "old men and women" (是“老的老头和老太太”，还是“老头和所有女人”？)
      

Part IV: CYK Algorithm & CNF

• Motivation (动机):
  利用动态规划（Dynamic Programming）缓存子问题的解，避免重复解析。

• Chomsky Normal Form (CNF):
  CYK 算法要求文法必须转换为 CNF 形式：

  1. $$A\to BC\$\$(\mathrm{右}\mathrm{侧}\mathrm{为}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{非}\mathrm{终}\mathrm{结}\mathrm{符})$$
  • Conversion Algorithm (转换算法):
    • 处理混合右侧：$$A \rightarrow Bc \implies A \rightarrow BC, C \rightarrow c$$
    • 消除单位产生式：$$A \rightarrow B$$
    • 处理长右侧：$$A \rightarrow BCD \implies A \rightarrow XD, X \rightarrow BC$$

• CYK Algorithm Mechanics (算法原理):

  • 使用一个 $(n+1)\times (n+1)$ 的矩阵，其中 $n$ 是单词数。
  • 单元格 $(i,j)$ 包含所有能生成从位置 $i$ 到 $j$ 的成分的非终结符。
  • Logic: 由于满足 CNF，每个成分 $(i,j)$ 都可以被切分为两部分：$(i,k)$ 和 $(k,j)$，其中 $i<k<j$。
  • Formula: 如果 $B\in table[i,k]$ 且 $C\in table[k,j]$，且存在规则 $A\to BC$，则将 $A$ 加入 $table[i,j]$。

Part V: The Bitter Lesson

• Core Concept (Rich Sutton):
  在 NLP 发展史上，关于“构建人类知识（如句法规则）”与“利用大规模计算发现知识”一直存在争论。
• Key Argument:
  从长远来看，利用大规模数据和可扩展计算的方法（$Data-driven$）总是优于硬编码人类知识的方法。
• Shift in Paradigm:
  • Past: 专注于复杂的句法解析步骤（$Parsing$）。
  • Present (LLM): 通过下一标记预测（$Nexttokenprediction$），模型可以直接学习语言规律。
• Conclusion:
  虽然在 LLM 时代显式构建语法树可能显得不再必要，但学习这些概念对于理解语言结构和建立 NLP 直觉仍然至关重要。

好的，这是根据 PDF 后半部分（Page 15 - Page 29）整理的后续笔记。这部分重点讲解了句法分析的搜索策略、歧义性以及解决效率问题的核心算法——CYK 算法。

Part VI: Syntactic Parsing & Search Strategies

• Goal (目标):
  给定一个 CFG 和一个句子，为该句子分配有效的解析树（Parsing trees）。

  • Root constraint: 树的根节点必须是起始符号 $S$。
  • Leaf constraint: 树的叶子节点必须是句子中的单词。
  • Process: 本质上是 CFG 生成句子过程的逆过程。

• Search Strategies (搜索策略):
  句法分析本质上是一个在搜索空间中寻找合法树的过程。

  1. Top-down Search (自顶向下搜索):
     • Method: 从根节点 $S$ 开始，根据规则 $A\to \beta$ 逐步展开非终结符。
     • Pruning: 当展开的叶子无法匹配输入句子中的单词时进行剪枝。
     • Stop: 当生成的叶子序列与输入句子完全匹配时停止。
     • Issue: 可能会盲目地构建很多最终无法匹配输入单词的树结构。
  2. Bottom-up Search (自底向上搜索):
     • Method: 从叶子节点（输入单词）开始，利用规则右侧匹配，逐步归约为非终结符（如 $Det+Noun\to NP$）。
     • Pruning: 当生成的结构无法进一步组合或匹配任何规则右侧时剪枝。
     • Stop: 当最终归约为根节点 $S$ 时停止。
     • Issue: 可能会构建很多无法最终连接到根节点 $S$ 的孤立子树。

• The Problem: Repeated Subproblems (重复子问题):
  无论是自顶向下还是自底向上，单纯的搜索算法效率很低。

  • Reason: 在搜索树的不同分支中，相同的子串（如 "that flight"）会被反复解析，即使之前的尝试已经证明它在某种组合下是死胡同（$dead\text{-}end$）。
  • Solution: 需要引入动态规划 (Dynamic Programming) 思想，缓存子问题的解。

Part VII: Structural Ambiguity (结构歧义)

同一个句子在句法上可能有多种合法的解析树，导致语义不同。这是 NLP 解析的难点。

• Attachment Ambiguity (附件歧义):
  修饰性短语（如介词短语 PP 或分词短语）依附的对象不明确。

  • Example: "I saw the Grand Canyon flying to New York."
    • Case 1: $VP$ (saw) $\leftarrow$ $Gerund\text{-}VP$ (flying...)。意味着“我”在飞往纽约时看到了峡谷。
    • Case 2: $NP$ (Grand Canyon) $\leftarrow$ $Gerund\text{-}VP$ (flying...)。意味着“大峡谷”在飞往纽约（虽然语义滑稽，但在句法上是合法的）。

• Coordination Ambiguity (并列歧义):
  连词（如 and）连接的范围不明确。

  • Example: "old men and women"
    • Case 1: $[oldmen]and[women]$。$old$ 仅修饰 $men$。
    • Case 2: $old[menandwomen]$。$old$ 修饰整个 $NP$，即老人和老妇人。

Part VIII: CYK Algorithm (Dynamic Programming)

CYK (Cocke-Younger-Kasami) 算法是解决 CFG 解析效率问题的标准动态规划算法。

• Core Idea (核心思想):

  • Overlapping Sub-problems: 重复利用子问题的解（即解析过的子串不需要重新解析）。
  • Optimal Substructure: 一个大的成分（如 $S$）是由更小的成分（如 $NP,VP$）成功组合而成的。如果子成分解析错误，大成分也不可能正确。

• Prerequisite: Chomsky Normal Form (CNF, 乔姆斯基范式):
  CYK 算法要求 CFG 必须转化为 CNF 形式，以便于构建标准化的二叉树结构。

  • CNF Rules: 规则只能是以下两种形式之一：
    1. $A\to BC$ （右侧严格为两个非终结符）
    2. $A\to a$ （右侧严格为一个终结符）
  • Conversion (转化): 任何 CFG 都可以转化为 CNF 而不损失表达能力。
    • 混合规则转化：$A\to Bc\Rightarrow A\to BX,X\to c$
    • 长规则转化：$A\to BCD\Rightarrow A\to BY,Y\to CD$

• The Algorithm (算法流程):
  假设句子有 $n$ 个单词。

  1. Data Structure: 构建一个 $(n+1)\times (n+1)$ 的三角矩阵（或表）。
     • 单元格 $table[i,j]$ 存储的是：能生成句子中从位置 $i$ 到 $j$ 的子串的所有非终结符集合。
  2. Initialization (底层):
     • 对于每个单词 $w_j$，如果存在规则 $A\to w_j$，将 $A$ 填入 $table[j-1,j]$。这是矩阵的对角线。
  3. Recursion (填表):
     • 对于跨度 $span$ 从 2 到 $n$（子串长度）：
       • 对于起始位置 $i$ 从 0 到 $n-span$：
         • 设结束位置 $j=i+span$。
         • 尝试所有可能的分割点 $k$ ($i<k<j$)。
         • 核心逻辑: 如果 $B\in table[i,k]$ 且 $C\in table[k,j]$，并且文法中存在规则 $A\to BC$，则将 $A$ 加入 $table[i,j]$。
  4. Termination (终止):
     • 检查右上角单元格 $table[0,n]$。如果其中包含起始符号 $S$，则解析成功。

• Efficiency:
  通过缓存 $table[i,j]$，避免了重复解析相同的子串，将指数级的搜索复杂度降低到了多项式级别（通常是 $O(n^3)$）。