维度 ≤ 生成向量数

您的困惑： “因为秩是列空间的维度，而列空间是由 $n$ 个列向量生成的，所以它的维度不可能超过 $n$。” 这个性质本身是如何从最基本的公理证明的？

回答： 好的，我们来严格地从最基本的定义出发，证明这个“维度定理”的一个基础版本。

目标： 证明一个由 $n$ 个向量生成的向量空间，其维度不会超过 $n$。

所需的基本公理和定义 (Axioms and Definitions):

1. 生成空间 (Span): 一个向量集合 $S=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 的生成空间 $\text{Span}(S)$，是这些向量所有可能的线性组合的集合。
2. 线性无关 (Linear Independence): 一个向量集合 $U=\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_k\}$ 是线性无关的，当且仅当方程 $c_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +c_k{\mathbf{u}}_k=\mathbf{0}$ 的唯一解是所有系数 $c_i=0$。
3. 基 (Basis): 一个向量空间 $V$ 的基是一个线性无关的生成集。
4. 维度 (Dimension): 一个向量空间 $V$ 的维度 $\text{dim}(V)$ 是其任何一个基中向量的数量。

证明（使用反证法 Proof by Contradiction）：

1. 前提 (Premise):

   • 我们有一个向量空间 $V$。
   • 这个空间是由 $n$ 个向量 $S=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 生成的，即 $V=\text{Span}(S)$。

2. 为反证法做出假设 (Assumption for Contradiction):

   • 我们假设这个空间的维度大于 $n$。比如说，我们假设 $\text{dim}(V)=k$，其中 $k>n$。

3. 从假设推导后果 (Consequences of the Assumption):

   • 根据维度的定义，如果 $\text{dim}(V)=k$，那么必然存在一个由 $k$ 个向量组成的基。我们称这个基为 $B=\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_k\}$。
   • 根据基的定义，这个集合 $B$ 中的 $k$ 个向量是线性无关的。

4. 找到矛盾 (Finding the Contradiction):

   • 现在我们有两个关于空间 $V$ 的事实：
     a. $V$ 由集合 $S$ 中的 $n$ 个向量生成。
     b. 集合 $B$ 中的 $k$ 个向量位于空间 $V$ 中，并且它们是线性无关的。
   • 因为 $V=\text{Span}(S)$，所以空间 $V$ 中的每一个向量（包括基向量 ${\mathbf{u}}_i$）都可以被表示为 $S$ 中向量的线性组合。
   • 这意味着，我们有 $k$ 个线性无关的向量（集合 $B$），而这 $k$ 个向量中的每一个都是由另外 $n$ 个向量（集合 $S$）线性组合而成的。
   • 这直接触发了我们之前证明过的一个结论（即您的“家庭作业”）：如果你用 $n$ 个向量去构造 $k$ 个新向量，而 $k>n$，那么这 $k$ 个新向量必然是线性相关的。
   • 因此，集合 $B=\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_k\}$ 必须是线性相关的。

5. 得出结论 (Conclusion):

   • 我们的推导结果（集合 $B$ 是线性相关的）与我们从假设中得到的事实（集合 $B$ 是一个基，因此是线性无关的）产生了直接的矛盾。
   • 这个矛盾的根源在于我们最初的假设：“空间的维度大于 $n$”。
   • 因此，这个假设是错误的。

所以，一个由 $n$ 个向量生成的向量空间的维度，必然小于或等于 $n$。证明完毕。