对称矩阵的几何变换 (Geometric transformation of symmetric matrices)

一个线性变换是纯粹的、无扭曲的拉伸（可以被一组正交的特征向量和实数特征值完全描述），当且仅当其对应的矩阵是实对称矩阵。

这个证明分为两个部分，这正对应了谱定理的两个方向。

这部分其实就是谱定理的内容。谱定理告诉我们，如果一个矩阵 A 是实对称的（A = Aᵀ），那么它一定可以被正交对角化：

A = Q Λ Q^{⊤}

其中：

现在我们来解释这个分解如何证明“纯粹拉伸”的几何行为。考虑对任意向量 $x$ 进行变换 $A x$ ：

A x = (Q Λ Q^{⊤}) x

我们可以把这个变换过程分解成三步：

第一步： $Q^{⊤} x$ (坐标系旋转)
- 由于 $Q$ 的列是标准正交基 ${q_{i}}$ ，所以 $Q^{⊤}$ ( $= Q^{- 1}$ ) 的作用是将向量 $x$ 从标准坐标系（基为 ${e_{i}}$ ）旋转到以特征向量为基的新坐标系中。
- 得到的新坐标向量 $y = Q^{⊤} x$ ，它的分量 $y_{i}$ 就是 $x$ 在特征向量 $q_{i}$ 方向上的投影长度。
第二步： $Λ y$ (在新坐标系下拉伸)
- $Λ$ 是一个对角矩阵。它的作用非常简单：将新坐标向量 $y$ 的每个分量 $y_{i}$ 乘以对应的特征值 $λ_{i}$ 。
- 这正是在新的、相互正交的基（主轴）方向上，独立地进行纯粹的拉伸或压缩。没有任何剪切或旋转发生。
第三步： $Q (Λ y)$ (旋转回原坐标系)
- $Q$ 的作用是将经过拉伸后的新坐标向量，从特征向量坐标系旋转回原来的标准坐标系。

结论：
整个变换 $A x$ 的过程可以被完美地解释为：旋转到主轴坐标系 → 沿着主轴纯粹地拉伸 → 旋转回原坐标系。

这个过程没有内在的“扭曲”或“剪切”。所有的形变都发生在第二步，而那一步是在一个正交坐标系下的纯粹缩放。因此，任何实对称矩阵所代表的变换，其本质都是纯粹的、沿着一组正交方向的拉伸。证明完毕。

现在我们反过来证明。假设一个线性变换 $T$ 是“纯粹的拉伸”。这在数学上意味着，存在一组标准正交基 ${q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}}$ ，使得变换 $T$ 在这些基向量上的作用仅仅是进行缩放。

也就是说，这组标准正交基 ${q_{i}}$ 同时也是变换 $T$ 的特征向量，并且对应的特征值 $λ_{i}$ 是实数（因为我们讨论的是实空间中的拉伸/压缩）。

T (q_{i}) = λ_{i} q_{i}

现在，我们来推导这个变换 $T$ 在标准坐标系下的矩阵 $A$ 是什么样子的。

根据我们上面的假设，我们可以写出：

我们知道，矩阵 $A$ 乘以它的任何一个特征向量 $q_{i}$ ，结果等于 $λ_{i} q_{i}$ ：

A q_{i} = λ_{i} q_{i}

我们可以把这 n 个方程用矩阵形式合在一起写：

A [q_{1} | \dots | q_{n}] = [λ_{1} q_{1} | \dots | λ_{n} q_{n}]

A Q = Q Λ

因为 $Q$ 是正交矩阵，所以 $Q^{- 1} = Q^{⊤}$ 。我们在上式右边乘以 $Q^{⊤}$ ：

A Q Q^{⊤} = Q Λ Q^{⊤}

A I = Q Λ Q^{⊤}

A = Q Λ Q^{⊤}

现在我们来验证这个矩阵 $A$ 是否是对称的。我们计算它的转置 $A^{⊤}$ ：

A^{⊤} = (Q Λ Q^{⊤})^{⊤}

利用转置的性质 $(X Y Z)^{⊤} = Z^{⊤} Y^{⊤} X^{⊤}$ ：

A^{⊤} = (Q^{⊤})^{⊤} Λ^{⊤} Q^{⊤}

代入回去：

A^{⊤} = Q Λ Q^{⊤}

我们发现， $A^{⊤}$ 和 $A$ 的表达式完全一样！

A^{⊤} = A

结论：
一个代表纯粹拉伸（即拥有n个标准正交特征向量和实数特征值）的线性变换，其对应的矩阵必然是实对称矩阵。证明完毕。

我们已经从两个方向证明了：

一个线性变换的矩阵是实对称的 (A = Aᵀ) ⟺ 该变换是沿着一组正交主轴的纯粹拉伸（可被 A = QΛQᵀ 分解）。

这完美地解释了为什么对称矩阵有如此“美好”的性质——它的代数形式和几何行为是同一枚硬币的两面，共同描述了一种无扭曲、可分解的纯粹变换。