Change-of-Basis Theorem

证明：基变换定理

1. 设定与定义 (Setup and Definitions)

为了使证明清晰，我们首先要非常精确地定义所有涉及的对象。

线性映射 (Linear Mapping):
$Φ : V \to W$ 是一个从向量空间 $V$ 到向量空间 $W$ 的线性映射。
向量空间与基 (Vector Spaces and Bases):
- $V$ 是一个 $n$ 维向量空间 (定义域)。
  - 旧基 (Old basis): $B = {b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}}$
  - 新基 (New basis): $B ̃ = {{\tilde{b}}_{1}, {\tilde{b}}_{2}, \dots, {\tilde{b}}_{n}}$
- $W$ 是一个 $m$ 维向量空间 (到达域)。
  - 旧基 (Old basis): $C = {c_{1}, c_{2}, \dots, c_{m}}$
  - 新基 (New basis): $C ̃ = {{\tilde{c}}_{1}, {\tilde{c}}_{2}, \dots, {\tilde{c}}_{m}}$
坐标向量 (Coordinate Vectors):
- 对于任意向量 $v \in V$ ，其相对于基 $B$ 的坐标向量记为 $[v]_{B}$ 。如果 $[v]_{B} = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}$ ，这意味着 $v = x_{1} b_{1} + \dots + x_{n} b_{n}$ 。
- 同理，我们有 $[v]_{B ̃}$ ， $[w]_{C}$ 和 $[w]_{C ̃}$ 。
变换矩阵 (Transformation Matrices):
- $A_{Φ}$ 是 $Φ$ 相对于旧基 $B$ 和 $C$ 的变换矩阵。根据定义，对于任意 $v \in V$ ，它满足：
$[Φ (v)]_{C} = A_{Φ} [v]_{B} (*)$
- $A ̃_{Φ}$ 是 $Φ$ 相对于新基 $B ̃$ 和 $C ̃$ 的变换矩阵。这是我们要求解的矩阵。根据定义，它必须满足：
$[Φ (v)]_{C ̃} = A ̃_{Φ} [v]_{B ̃} (* *)$
基变换矩阵 (Change-of-Basis Matrices):
- $S$ 是从新基 $B ̃$ 到旧基 $B$ 的基变换矩阵。它的作用是将一个向量在新基下的坐标转换为在旧基下的坐标。对于任意 $v \in V$ ：
$[v]_{B} = S [v]_{B ̃} (1)$
（ $S$ 的第 $j$ 列是向量 ${\tilde{b}}_{j}$ 在基 $B$ 下的坐标，即 $[{\tilde{b}}_{j}]_{B}$ ）。
- $T$ 是从新基 $C ̃$ 到旧基 $C$ 的基变换矩阵。它的作用是将一个向量在新基下的坐标转换为在旧基下的坐标。对于任意 $w \in W$ ：
$[w]_{C} = T [w]_{C ̃} (2)$
（ $T$ 的第 $j$ 列是向量 ${\tilde{c}}_{j}$ 在基 $C$ 下的坐标，即 $[{\tilde{c}}_{j}]_{C}$ ）。
由于基变换矩阵总是可逆的，我们可以得到从旧基 $C$ 到新基 $C ̃$ 的变换关系：
$[w]_{C ̃} = T^{- 1} [w]_{C} (3)$

2. 证明过程 (The Proof)

我们的目标是找到 $A ̃_{Φ}$ 。根据定义 $(* *)$ ， $A ̃_{Φ}$ 是连接 $[v]_{B ̃}$ 和 $[Φ (v)]_{C ̃}$ 的桥梁。我们将利用已知的关系，通过一条“绕行”的路径来建立这个连接。这个路径就是 $B ̃ \to B \to C \to C ̃$ 。

让我们从我们想要求解的表达式的左侧开始，即 $[Φ (v)]_{C ̃}$ ，然后一步步地将它与 $[v]_{B ̃}$ 联系起来。

第一步：从新输出坐标到旧输出坐标 ( $C ̃ \to C$ )
我们有一个向量 $Φ (v) \in W$ 。利用关系式 (3)，我们可以将其在新基 $C ̃$ 下的坐标用在旧基 $C$ 下的坐标来表示：

[Φ (v)]_{C ̃} = T^{- 1} [Φ (v)]_{C}

第二步：应用原始变换矩阵 ( $B \to C$ )
现在我们有了 $[Φ (v)]_{C}$ 。根据原始变换矩阵 $A_{Φ}$ 的定义 (式 $*$ )，我们可以把它和输入向量在旧基 $B$ 下的坐标联系起来：

[Φ (v)]_{C} = A_{Φ} [v]_{B}

将这个代入第一步的结果中，我们得到：

[Φ (v)]_{C ̃} = T^{- 1} (A_{Φ} [v]_{B})

第三步：从旧输入坐标到新输入坐标 ( $B ̃ \to B$ )
最后，我们看到表达式中出现了 $[v]_{B}$ 。利用关系式 (1)，我们可以将其与我们最终想要的输入坐标 $[v]_{B ̃}$ 联系起来：

[v]_{B} = S [v]_{B ̃}

将这个代入第二步的结果中，我们得到：

[Φ (v)]_{C ̃} = T^{- 1} (A_{Φ} (S [v]_{B ̃}))

第四步：得出结论
利用矩阵乘法的结合律，我们可以去掉括号：

[Φ (v)]_{C ̃} = (T^{- 1} A_{Φ} S) [v]_{B ̃}

现在，我们将这个结果与我们对 $A ̃_{Φ}$ 的定义 (式 $* *$ ) 进行比较：

[Φ (v)]_{C ̃} = A ̃_{Φ} [v]_{B ̃} (by definition of A ̃_{Φ})

我们已经证明，对于任意向量 $v \in V$ ，它都满足 $[Φ (v)]_{C ̃} = (T^{- 1} A_{Φ} S) [v]_{B ̃}$ 。由于线性变换的矩阵表示是唯一的，我们必然得出结论：

A ̃_{Φ} = T^{- 1} A_{Φ} S

证明完毕。

3. 交换图 (Commutative Diagram)

这个证明过程可以用一个非常直观的交换图来表示，它完美地总结了整个逻辑。图中，箭头表示一个操作（矩阵乘法）。

                      Φ
      V ----------------------------> W
      |                               |
      | Coord. w.r.t. B̃              | Coord. w.r.t. C̃
      |                               |
      v                               v
   ℝⁿ (B̃-coords) -- Ã_Φ --> ℝᵐ (C̃-coords)
      |    ^                          ^    |
      | S  |                          | T⁻¹|
      v    |                          |    |
   ℝⁿ (B-coords) --- A_Φ --> ℝᵐ (C-coords)

上方的直接路径：从 $B ̃$ 坐标直接到 $C ̃$ 坐标，这是由我们想求的矩阵 $A ̃_{Φ}$ 完成的。
下方的“绕行”路径：
1. 从 $B ̃$ 坐标到 $B$ 坐标 (乘以 $S$ )。
2. 从 $B$ 坐标到 $C$ 坐标 (乘以 $A_{Φ}$ )。
3. 从 $C$ 坐标到 $C ̃$ 坐标 (乘以 $T^{- 1}$ )。

图的“交换性”意味着从任何一个起点到任何一个终点，所有路径都必须产生相同的结果。因此，直接路径必须等于间接路径，即：

A ̃_{Φ} = T^{- 1} A_{Φ} S

这为我们的形式化证明提供了一个强大的视觉辅助。