H 和 H⁻¹ 的几何意义

想象一下，在损失函数的某个点（比如一个山谷的谷底附近），我们画出所有让损失值增加一个微小量（比如增加1）的点，这些点会构成一个椭球 (ellipsoid)。

H 的特征向量: 指出了这个椭球的主轴方向。这些是曲面“最纯粹”的弯曲方向，在这些方向上没有扭曲。
H 的特征值 (λ): 描述了在主轴方向上的曲率（弯曲程度）。
- 大的特征值 λ_large: 对应椭球的短轴。这意味着在这个方向上，损失函数非常陡峭，你只需要稍微移动一点点，损失值就会增加1。
- 小的特征值 λ_small: 对应椭球的长轴。这意味着在这个方向上，损失函数非常平缓，你需要移动很长一段距离，损失值才会增加1。

总结 H:
海森矩阵 H 描述了损失函数等高线的形状。它的特征向量是椭球的轴向，特征值与轴长的平方成反比。

现在，我们来看 H⁻¹。因为 H 和 H⁻¹ 互为逆矩阵，它们共享相同的特征向量，但特征值互为倒数。

H⁻¹ 的特征向量: 与 H 相同，同样是椭球的主轴方向。
H⁻¹ 的特征值 (1/λ):
- 对应 H 的大特征值 λ_large 的方向（短轴），H⁻¹ 的特征值是 1/λ_large，一个很小的值。
- 对应 H 的小特征值 λ_small 的方向（长轴），H⁻¹ 的特征值是 1/λ_small，一个很大的值。

H⁻¹ 描述了一个“逆椭球”，这个逆椭球的几何意义是：它将一个在所有方向上都“走一步”的圆形区域，拉伸成一个适应地形的椭球区域。

总结 H⁻¹:
逆海森矩阵 H⁻¹ 是一个“地形适应性”的拉伸变换。它在曲率大的方向上进行压缩，在曲率小的方向上进行拉伸。 它的作用就是抵消 H 带来的不均匀性，将一个椭圆形的世界“变回”圆形。

现在，我们把梯度 g 和 H⁻¹ 结合起来看 -H⁻¹g。

梯度 -g: 这是最速下降方向。在我们的等高线椭球上，这个方向垂直于当前点的切线。重要：它并不指向椭球的中心！ （除非椭球是正圆形）

(负梯度 -g 方向垂直于等高线，但没有指向椭球中心。牛顿方向 -H⁻¹g直接指向了椭球（二次近似函数的最小值点）的中心。)
H⁻¹ 的作用:
- 我们把 -g 这个向量输入到 H⁻¹ 这个变换中。
- H⁻¹ 会对 -g 进行一次“地形适应性”的拉伸和旋转。
- 它会在平缓的方向（椭球长轴方向）上大幅拉长 -g 的分量。
- 它会在陡峭的方向（椭球短轴方向）上大幅压缩 -g 的分量。
最终结果 -H⁻¹g (牛顿方向):
- 经过 H⁻¹ 修正后得到的新方向，精确地指向了我们二次近似的那个椭球的中心点！
- 这个中心点，正是我们二次近似的损失函数的最小值点。

所以，-H⁻¹g 的几何意义是：

它不再是局部最陡峭的下降方向，而是综合了全局（局部二次近似范围内）的曲率信息后，计算出的直接指向二次近似函数最小值点（椭球中心）的方向向量。

一个完美的类比：

地球: 是一个椭球体。
重力方向 (梯度 -g): 在地球表面任何一点，重力方向都垂直于地平面（等高面），指向地心方向。但由于地球是椭球，它并不精确地指向地球的质心（几何中心）。
牛顿方向 -H⁻¹g: 相当于一个考虑了地球离心力和不均匀密度的“修正”方向，它能够精确地指向地球的质心。

梯度下降是“跟着重力走”，而牛顿法是“直接飞向质心”。